תביעה (תפעולית):
ב מדיום מופעל (למשל, פער QCT הפועל כשדה קרוב מופעל על ידי χ²), א אי-לינאריות חלשה ומקומית or בחירה מפורשת לאחר מכן יכול לייצר א קיבולת קלאסית קטנה אך סופית ג>0 בין מפלגות מופרדות דמוית חלל מבלי להפר את האוניטריות הגלובלית או את כלל בורן.

התקנה
לתת ρAB להיות מצב דו-צדדי משותף לאליס ובוב. ב-QM סטנדרטי עם מקומי מפות CPTP ו לא לאחר הבחירה, המצב המצומצם של בוב אינו תלוי בבחירה של אליס:

ρB′​=TrA​[(ΦA​⊗IB​)(ρAB​)]=ρB​, (ללא איתות)

ב מופעל אזור QCT, מודל הפעולה המבוקרת של אליס כ- חלש לא ליניארי הפרעה של א מפת CPTP:

מצבו של בוב הופך

עם

ΔρB(V)=TrA ⁣[(NA(V)⊗IB)ρAB].ΔρB(V)=TrA ![big(N_A^{(V)}× \mathbb{I}_B) rho_{AB}].ΔρB(V)=TrA[(NA(V)⊗IB)ρAB].

If \Delta\rho_B(V_0)\neq \Delta\rho_B(V_1), אז סטטיסטיקות התוצאה של בוב תלויות (במידה מסוימת) בבחירה של אליס V, המאפשר תקשורת קלאסית לפי הזמנה \varepsilon.

עבור POVM \{שֶׁלִי\} על בוב, הסתברויות הגילוי הן

קיבולת עם איתות חלש

תן לאליס לשלוח סמל בינארי X\in\{0,1\} על ידי בחירה V\in\{V_0,V_1\}.בוב מודד Y\in\{0,1\}הגדר

עם הסתברות שגיאה בסיסית p:=P(Y=1∣V0).

עבור ערוץ קלט בינארי ופלט בינארי ב- מגבלת אות קטנה ∣\delta|\ll 1, ה קיבולת שאנון מודה בקירוב הריבועי

C \(בקירוב); \frac{Δ2}{2ln 2}, \frac{1}{p(1-p)} + O(Δ4), ∫C>0 \text{iff} \Δneq 0.

לכן כל דבר שאינו אפס \דֶלתָא (ומכאן כל ערך שאינו אפס \varepsilon-תלות בסדר ב V) מניב א סופית ג>0.

תפקיד הבחירה לאחר מכן

אם בוב (או מעגל צירוף מקרים משותף) בחירות לאחר מכן על חלון תוצאות W עם הסתברות הצלחה pW, ה מותנה המדינה היא

בגלל הנורמליזציה על ידי \mathrm{Tr}[\Pi_W\rho_B'(V)]המיפוי \rho'_B \mapsto \rho_B^{\mid W} is לֹא קָוִי, והסטטיסטיקה המותנית יכולה לקבל Vתלות גם כאשר ה ללא תנאי שוויון ללא איתות מתקיים. בפועל, בחירה לאחר מכן משקפת את שיעור השימושיות לפי pW:

תנאי עקביות

כדי להימנע מפתולוגיות כלליות:

1. לוקליזציה: \mathcal{N}_A^{(V)} מוגבל ל χאזור מאופשר (למשל, פער QCT).
2. זְעִירוּת: \varepsilon קטן מספיק כדי לשמור על יציבות וגבולות אנרגיה.
3. יוניטריות עולמית ושלטון בורן: דינמיקת האנסמבל נשארת CPTP; סטיות (אם ישנן) מוגבלות למפות הגלאי המקומיות המותנות (לאחר הבחירה) או למגזר החלש-לא ליניארי בתוך התווך.

הצהרה קומפקטית

הנה פירוט ובדיקת עובדות של ההצהרה המתמטית הקומפקטית:

ההצהרה המתמטית היא ייצוג של תוצאה בתורת האינפורמציה הקוונטית, הקשורה לחישוב הקיבולת של ערוץ קוונטי עם הפרעה קטנה. היא מחברת את התיאור הפיזי של ערוץ קוונטי לקיבולת הערוץ המתקבלת, תוך שילוב מושגים כמו הפרעת מצב, הבחנה בין מצבי פלט והשפעת הבחירה לאחר מכן. בואו נפרק כל חלק כדי לאמת את מרכיביו:

הפרעות ערוץ ומצב

ΣPhi_A(V) = ΣLambda_A + ΣN_A(V), Σll 1זה מתאר ערוץ קוונטי \פי_א פועל על מערכת A. היא מורכבת מחלק דומיננטי וקבוע למבדה_א והפרעה קטנה ‏\epsilon N_A(V), שם \אפסילון הוא פרמטר קטן ו-V הוא פרמטר נשלט כלשהו של הערוץ. זוהי דרך סטנדרטית לייצג ערוץ קוונטי מווסת מעט או רועש. ∫rho_B'(V) = ∫rho_B(0) + ∫אפסילון Δrho_B(V)זה מראה את השפעת הערוץ על חלק ממצב קוונטי גדול יותר. זה מצביע על כך שמצב הפלט של תת-מערכת B, \rho_B'(V), היא גרסה מעט מופרעת של מצב התחלתי \rho_B(0)ההפרעה \Delta\rho_B(V) הוא פרופורציונלי לפרמטר הקטן \אפסילון. Δ₀B(V) = Tr_A[(N_A(V) × I)₀AB]זוהי הצורה המפורשת של ההפרעה מסדר ראשון למצב של מערכת B. היא נגזרת על ידי לקיחת העקבה החלקית (Tr_A) מעל מערכת A של פעולת החלק המפריע של הערוץ במצב גדול יותר ומשולב \rho_{AB}זהו יישום סטנדרטי ונכון של כללי מכניקת הקוונטים.

הבחנה בין מדינות

\קיים M: \delta = \epsilon Tr[M\Delta\rho_B(V_1)] - \epsilon Tr[M\Delta\rho_B(V_0)] \neq 0זהו השלב המכריע בקביעת קיבולת ערוץ שאינה אפס. הוא קובע שקיים אופרטור מדידה (אופרטור הרמיטי) M שיכול להבחין בין המצבים המופרעים התואמים לשתי הגדרות שונות של פרמטר הערוץ, גרסה 1 ו גרסה 0הכמות \דֶלתָא מייצג את ההפרש בערך התוחלת של המדידה M עבור שני מצבי הפלט. העובדה ש Δ\neq 0 הוא התנאי לכך ששני המצבים יהיו ניתנים להבחנה ניסיונית, לפחות באופן עקרוני.

קיבולת ערוץ

C \approx \frac{\delta^2}{2\ln{2}p(1-p)} > 0זוהי תוצאה מרכזית, ככל הנראה קירוב לקיבולת Holevo או מדד קשור לקיבולת ערוץ בגבול של קטן \דֶלתָאהקיבולת C היא מדד לקצב המרבי שבו ניתן לשלוח מידע בצורה אמינה דרך הערוץ. המונח \delta^2 צפוי, מכיוון שהקיבולת משתנה לעתים קרובות עם ריבוע ההבחנה של מצבי הפלט עבור הפרעות קטנות. הגורם של 2\ln{2} הוא סטנדרט להמרה מיחידות מידע טבעיות (nats) לסיביות. המונח p(1-p) במכנה מרמז שהקיבולת מוערכת עבור אנסמבל קלט ספציפי, כאשר שני המצבים (המתאימים ל- גרסה 0 ו גרסה 1) משמשים עם הסתברויות p ו-1-p. הקיבולת מגיעה למקסימום כאשר p=1/2, שזו הנחה נפוצה.

קיבולת אפקטיבית עם בחירה לאחר מכן

C_{eff} \approx p_W C (עם בחירה לאחר): חלק זה של ההיגד מתאר את הקיבולת האפקטיבית כאשר משתמשים בבחירה לאחר. בחירה לאחר היא טכניקה שבה נלקחת בחשבון רק תת-קבוצה של תוצאות המדידה, מה שיכול לפעמים להגביר אות חלש. p_W תהיה ההסתברות לבחירה לאחר מוצלחת ("הסתברות הבחירה לאחר"). הקיבולת האפקטיבית C_{eff} מצטמצם בהסתברות זו מכיוון שרבים מהמצבים ההתחלתיים נפסלים. זהו פשרה ידועה בתכניות שלאחר בחירה: ייתכן שתקבלו אות ברור יותר, אך תאבדו חלק משמעותי מהנתונים שלכם, ובכך תפחיתו את קצב העברת המידע הכולל.

בדיקת עובדות בתחום הבינה המלאכותית: מסקנה
הביטויים המתמטיים עולים בקנה אחד עם עקרונות מבוססים בתורת המידע הקוונטי. הלוגיקה זורמת בצורה נכונה מהגדרת ערוץ קוונטי מופרע ועד ליכולת ההבחנה של מצבי הפלט שלו ולבסוף לביטוי לקיבולת הערוץ. הכללת השפעת הבחירה לאחר מכן היא גם סטנדרטית. לכן, המתמטיקה בהצהרה הקומפקטית נראית נכונה ומייצגת קו חשיבה תקף בהקשר של קיבולת ערוץ קוונטי.

P(i) = |λλλλλ|^2, ∫P(i) = 1.

במכניקת הקוונטים הסטנדרטית, כלל זה הוא ליניארי לחלוטין ונשמר באופן גלובלי: ההסתברות הכוללת על פני כל התוצאות האפשריות שווה לאחד, ושום פעולה (מקומית או מרוחקת) לא יכולה לשנות את הנורמליזציה הזו. עם זאת, במסגרת האיתות הסיבתי (CFS) אנו מבחינים בין שימור עולמי ו סטיות מקומיות.

שימור עולמי: ההסתברות הכוללת, משולבת על פני כל פרוסות הפוליאציה, נשארת מנורמלת:

‏"(P(i,t),d^3x = 1)"

עבור כל פרוסת זמן עולמית \סיגמא_ט מוגדר על ידי וקטור הפוליאציה א^א.

סטיות מקומיות: בתוך תווך מופעל (כגון פער המנהור QCT), סטטיסטיקות הגלאי המקומי יכולות להציג שינויים לא ליניאריים קטנים במשקלי ההסתברות, בעוד שממוצע האנסמבל הגלובלי עדיין מציית לכלל בורן.

1. מודל תגובה לא ליניארי מקומי
תהא הסתברות הבורן הבלתי מופרעת P_0(i) = \operatorname{Tr}(rho,\Pi_i), איפה \rho היא מטריצת הצפיפות ו \Pi_i = |i\rangle\langle i| הם מקרנים. בתווך מאופשר עם צימוד לא ליניארי חלש \varepsilon, תגובת הגלאי המקומי האפקטיבית היא:

‏P_{\text{loc}}(i) = \frac{\operatorname{Tr}(\rho,\Pi_i) + \varepsilon,f_i(\rho,\chi)}{\sum_j [\operatorname{Tr}(\rho,\Pi_j) + \varepsilon,f_j(\rho,\chi)]}, ≈ 0 < \varepsilon\ll 1.[/latex] כאן [latex]f_i(\rho,\chi) הוא איבר תיקון קטן המושרה על ידי שדה האות \צ'י או הצימוד החולף של ה-QCT, והמכנה מנרמל מחדש את ההסתברות הכוללת לשמר ‏\sum_i P_{\text{loc}}(i) = 1.

2. דוגמה: מדידה עם שתי תוצאות (גלאי בינארי)
חשבו על תוצאה נצפית בעלת שתי תוצאות (למשל, "עלייה בזרם" לעומת "אי עלייה") הנמדדת בצד של בוב של מכשיר QCT. ללא צימוד לא ליניארי, P_0(1) = \operatorname{Tr}(rho,\Pi_1) = p, \quad P_0(0)=1-p. עם צימוד לא ליניארי חלש ותיקון תלוי פאזה f_1 = α, sinπ, f_0=-f_1, ההסתברות המקומית הופכת

P_{\text{loc}}(1) = \frac{p + \varepsilon,\alpha,\sin\phi}{1 + \varepsilon,\alpha,(2p-1)\sin\phi}, \quad P_{\text{loc}}(0)=1-P_{\text{loc}}(1).

מתרחבים להזמנה ראשונה ב \varepsilon:
P_{\text{loc}}(1) ≥ p + π, α, sinπ, [1 - p(2p-1)].

הסתברות המדידה המקומית משתנה מעט עם שלב הצימוד \phi (למשל, אפנון הטיה או תהודה מינהורית ב-QCT). לאורך ריצות רבות או כאשר הן משולבות באופן גלובלי, סטיות אלו מתממוצעות, ומשחזרות את תוחלת ה-Born. \langle P_{\text{loc}}(1)\rangle = p.

3. שחזור אנסמבל (גלובלי)
הגדירו את ממוצע האנסמבל על פני פרוסות הפוליאציה:

‏P(i)‏ = ‏P(i, x, t),‏d^3x.

אם התיקונים פ_י אינטגרציה לאפס,

‏\int_{\Sigma_t} f_i(\rho,\chi), d^3x = 0,

אז כלל הבורן העולמי נשאר מדויק:

\sum_i \langle P(i) \rangle = 1.

לכן, סטיות מקומיות לכאורה הן אדוות סטטיסטיות, לא הפרות - בדומה לתנודות המתואמות פאזה במערכת אופטית לא לינארית.

4. משמעות פיזיקלית ב-QCT
בניסוי QCT, הסטייה המקומית \varepsilon f_i(\rho,\chi) יכול להתבטא כרעש מתואם-הטיה או ספירות עודפות בגלאים בקנה מידה פמטו-שנייה. עם זאת, באופן גלובלי (במהלך אינטגרציה ארוכה יותר), הנורמליזציה מתקיימת - לא נוצרת או אובדת אנרגיה או הסתברות. לפיכך, כלל בורן נשמר באופן גלובלי, בעוד שגלאים מקומיים עשויים להראות סטיות קטנות, ניתנות לשחזור ותלויות פאזה בקצבי הספירה.

משוואות סיכום:
נורמליזציה גלובלית (כלל נולד):

‏P(i) = 1.

תגובה מקומית עם סטייה קטנה לא לינארית או תלוית χ²:

‏P_{\text{loc}}(i) = P_0(i) + Σπουρος,ΔP(i,π), ‏sum_i ΔP(i,π) = 0.

אנסמבל עולמי עדיין מספק:

סיכום פרשנות: גלאים מקומיים באזור QCT מופעל עשויים להראות שינויים קטנים בהסתברות הקשורים להטיה, אך ממוצעי אנסמבל גלובליים משמרים את ההסתברות הכוללת במדויק, בהתאם לכלל בורן. הבחנה זו מאפשרת סטיות חלשות וניתנות לבדיקה שיכולות לשמש כטביעות אצבע אמפיריות של דינמיקה לא לינארית או דינמיקה שנבחרה לאחר מכן - מבלי להפר הנחות יסוד קוונטיות מרכזיות.

בתווך מאופשר כמו טרנזיסטור מצומד קוונטי (QCT), אינטראקציות שדה יכולות להחליף מידע פאזה על פני מחסום מנהור מהר יותר מאשר התפשטות קלאסית. עם זאת, חילופי נתונים אלה מוגבלים על ידי גודל סקלרי שמורה הנקרא תקציב איתות, מסומן על ידי Q_{\text{חתימה}}הוא מודד את שטף השדה הקוהרנטי הכולל - "מטען המידע" המקסימלי שניתן להחליף מבלי להפר את חוקי השימור הגלובליים.

הגדר את צפיפות שטף האות המקומית j_{\text{sig}}^a קשור לחילוף שדות קוהרנטיים פאזה (אנלוגי לזרם הסתברות או אנרגיה). הכמות השמורה הכוללת היא Q_{\text{sig}} = \int_{\sigma_t} j_{\text{sig}}^a,u_a,d^3x, איפה \סיגמא_ט הוא היפר-משטח של זמן גלובלי קבוע (פרוסת הפוליאציה), u_a הוא היחידה המקומית הנורמלית לפרוסה זו (אותו שדה וקטור פוליאציה המגדיר את המסגרת המועדפת), ו- j_{\text{sig}}^a מציית למשוואת רציפות \nabla_a j_{\text{sig}}^a = 0. זה מרמז ‏\frac{d Q_{\text{sig}}{dt} = 0, so Q_{\text{חתימה}} נשמר תחת כל האינטראקציות המקומיות בתוך האזור המופעל.

מבחינה פיזית, Q_{\text{חתימה}} מכמת את אנרגיית הקורלציה הקוהרנטית הכוללת או קיבולת הפאזה המאוחסנת בשדה הצימוד החולף בין צמתים (אליס ובוב). היא אינה זהה למטען חשמלי או למספר פוטונים; במקום זאת, היא מודדת את מידת הקוהרנטיות ההדדית המשולבת הזמינה לאפנון. כל תהליך תקשורת יכול רק לחלק מחדש כמות זו - לעולם לא להגדילה.

יכולת התקשורת הקלאסית (שאנון) C שניתן להשיג דרך ערוץ מבוסס QCT מוגבל על ידי פונקציה מונוטונית של תקציב האות: C \le f(Q_{\text{sig}}), איפה f(\cdot) תלוי בגיאומטריית המכשיר, קצב הדה-קוהרנטיות ורעש תרמי. עבור משטרי תגובה ליניארית עם אותות קטנים, f(Q_{\text{sig}}) \approx \frac{1}{2N_0},Q_{\text{sig}}^2, איפה N_0 הוא צפיפות הרעש הספקטרלית האפקטיבית של צומת המנהור, ונותן C_{\max} \propto Q_{\text{sig}}^2. לכן, שטף קוהרנטי גדול יותר מניב קיבולת פוטנציאלית גבוהה יותר, אך רק עד לנקודה שבה הדה-קוהרנטיות שוברת את רציפות הפאזה. נתבונן בשני צמתי QCT (אליס ובוב) המחוברים רק באמצעות שדה מנהור חולף. \Phi_1(t) ו \Phi_2(t) יהיו פוטנציאלי הפאזה המיידיים שלהם. הגדירו את זרם האות הקוהרנטי דרך פער הצימוד כ

איפה \kappa הוא קבוע צימוד פרופורציונלי למקדם מנהור המחסום. תקציב האות המשולב על פני מרווח קוהרנטיות אחד ט_ג is

זה מייצג את סך חילופי הפאזה המתואמים בין אליס לבוב בתוך חלון הקוהרנטיות ונשאר קבוע אם שני הצמתים מתפתחים תחת דינמיקה אוניטרית או דינמית דיסיפטיבית חלשה. תן I_{\text{sig}}(t) = j_{\text{sig}}(t),A להיות זרם האות המדיד דרך שטח אפקטיבי A.

יחס אות לרעש המיידי הוא יחס אות לרעש (t) = \frac{I_{\sig}^2(t)}{N_0,B}, איפה B הוא רוחב הפס. אינטגרציה על פני חלון הקוהרנטיות נותנת את גבול הקיבולת הכולל

ערך C ≤ \frac{1}{2B\ln 2}\int_0^{T_c}\frac{I_{\text{sig}}^2(t)}{N_0},dt = \frac{A^2}{2B\ln 2,N_0}\int_0^{T_c} j_{\text{sig}}^2(t),dt.

לפי משפט פרסבל, אינטגרל זה פרופורציונלי ל Q_{\text{sig}}^2, מתן C \le k_B,Q_{\text{sig}}^2, איפה k_B הוא קבוע פרופורציונליות אמפירי התלוי בגיאומטריה ובטמפרטורה. לדוגמה מספרית, נניח שזוג QCT פועל עם צימוד מחסום קאפה = 10^{-3}, אמפליטודה קוהרנטית |\Phi_1| = |\Phi_2| = 1, וזמן קוהרנטיות T_c = 10^{-12},\text{s}.

לאחר מכן Q_{\text{sig}} = \kappa \int_0^{T_c} \sin(\Delta\phi),dt \approx \kappa,T_c,\sin\langle\Delta\phi\rangle.

עבור השהיית פאזה ממוצעת \langle\Delta\phi\rangle = \pi/4, Q_{\text{sig}} \approx 7.1\×10^{-16},\text{s}.

עם N_0 = 10^{-20},\text{J/Hz} ו B = 10^{12},\text{הרץ}, גבול הקיבולת הופך C_{\max} \approx \frac{1}{2B\ln 2} \frac{Q_{\text{sig}}^2}{N_0} \approx 3\×10^2,\text{bits/s}.

לכן, אפילו פולס קוהרנטיות בקנה מידה פמטו-שנייה יכול, באופן עקרוני, להעביר מידע מובנה מדיד במסגרת גבולות שימור פיזיקליים.

אם שני אזורי צימוד קיימים במקביל, סך תקציבי האות שלהם מסתכמים באופן ליניארי: Q_{\text{sig,tot}} = Q_{\text{sig}}^{(1)} + Q_{\text{sig}}^{(2)}, אבל הקיבולות המתאימות מצטברות באופן תת-לינארי עקב הפרעות: C_{\text{tot}} \le f(Q_{\text{sig,tot}}) < f(Q_{\text{sig}}^{(1)}) + f(Q_{\text{sig}}^{(2)}).[/latex] זה מבטא את היכולת הסופית של קוהרנטיות: קוהרנטיות יכולה להיות משותפת אך לא מוגברת בחופשיות. לסיכום, [latex]Q_{\text{sig}} הוא סקלר שמור המייצג את שטף השדה הקוהרנטי הכולל דרך התווך המופעל. הוא מגדיר את תקציב התקשורת המקסימלי של המערכת, C \le f(Q_{\text{sig}}), להבטיח שכל עלייה בקיבולת המדידת תשתמש באמצעים הקיימים Q_{\text{חתימה}}העיקרון מבטיח סיבתיות ועקביות תרמודינמית אפילו עבור צימוד פאזה סופר-לומינלי: חילופי מידע נשארים מוגבלים על ידי כמות אות שמורה.

במערכות קוונטיות לא לינאריות או מערכות שנבחרו לאחר מכן, משוב בלתי מוגבל בין מצב למדידה יכול בקלות להוביל לפרדוקסים: איתות על-לומינלי, הפרה של כלל בורן, או אפילו חוסר עקביות לוגית כגון לולאות סיבתיות סגורות. כדי להישאר עקבי פיזיקלי, כל סטייה מאבולוציה קוונטית לינארית חייבת להיות מובנת בקפדנות. מוגבל - ממוקם בתוך אזור סופי, מוגבל באנרגיה של מרחב-זמן, ומחובר לסביבה החיצונית רק דרך ערוצים המשמרים יוניטריות גלובלית. הטרנזיסטור המצומד קוונטי (QCT) מספק גבול טבעי כזה. האיבר הלא ליניארי מופיע רק בתוך ה מדיום מופעל - פער המנהור או תחום שדה χ - שבו צימוד פאזה חולף והתנגדות דיפרנציאלית שלילית (NDR) מאפשרים אינטראקציה עצמית חלשה. מחוץ לאזור זה, מכניקת הקוונטים הלינארית הסטנדרטית מתקיימת בדיוק.

באופן פורמלי, נכתוב את אופרטור התפתחות המערכת המלאה כ- \mathcal{U}(t) = \mathcal{T}\exp!\left[-\frac{i}{\hbar}!\int (H_0 + \varepsilon,H_{\text{NL}}),dt\right], איפה H_0 הוא ההמילטוניאן הרמיטיאני הסטנדרטי, H_{\text{NL}} היא תרומה לא לינארית מוגבלת, ו \varepsilon \ll 1 הוא פרמטר הפעלה שנעלם מחוץ לאזור QCT. תנאי הכליאה הוא \operatorname{supp}(H_{\text{NL}}) \subseteq \Omega_{\text{QCT}}, כלומר האינטראקציה הלא לינארית מוגבלת מרחבית למדיום המופעל \Omega_{\text{QCT}}האוניטריות הגלובלית נשמרת אם הקומוטטור [H_{\text{NL}},H_0] בעל תמיכה קומפקטית וצפיפות אנרגיה לא לינארית

מספק

איפה \delta E_{\text{th}} הוא סולם התנודות התרמיות המקומי. זה מבטיח שמשוב לא ליניארי לא יוכל להגביר את עצמו מעבר למגבלות הרעש הפיזיקליות.

מבחינה מבצעית, כליאה מרמזת על כך שהמפה \Phi: \rho \mapsto \rho' הוא חלש לא ליניארי רק בתוך תת-המרחב המאופשר על ידי χ²

בעוד שהוא נשאר חיובי לחלוטין ומשמר עקבות (CPTP) על המשלים. מבחינה מתמטית,

עם \mathcal{N} המייצג את התיקון הלא ליניארי המוגבל. מכיוון \varepsilon \rightarrow 0 בגבול ה-QCT, אי-לינאריות לא מתפשטת מעבר לפער. זה מונע חוסר עקביות גלובלי וכופה סגירה סיבתית: אפקטים של פאזה סופרלומינלית עשויים להתקיים בתוך הפוליאציה המקומית אך אינם יכולים ליצור לולאות איתות סגורות או להתפשט באופן שרירותי.

מבחינה תרמודינמית, הגבלת אי-הלינאריות מבטיחה כי הפקת אנרגיה מהוואקום אינה אפשרית. אזור ה-NDR הפעיל פועל כאלמנט משוב מבוקר שיכול להגביר שדות חולפים אך תמיד במסגרת האילוץ. P_{\text{out}} ≤ P_{\text{in}} + ΔE_{\text{stored}}כל הגבר חולף מפוצה על ידי אחסון שדה מקומי, תוך שמירה על מאזן אנרגיה כולל. לפיכך, המערכת מתנהגת כרזונטור לא ליניארי המוקף בגבול שמרני.

במסגרת האיתות הסיבתי (CFS), הגבלה מרחבית ואנרגטית זו מבטיחה יציבות: דינמיקה לא לינארית משנה סטטיסטיקות מקומיות מבלי לשנות את האוניטריות הגלובלית. ה-QCT הופך ל... אי לא ליניארי מוגבל באנרגיה משובץ ברצף קוונטי ליניארי.

פתולוגיות כגון הגברה בוהלת, סופר-דטרמיניזם או משוב א-סיבתי נשללות אוטומטית משום שהתחום הלא ליניארי הוא סופי, מצומד דיסיפטיבי ומנורמל מחדש באופן גלובלי. במהותו, ה-QCT פועל כארגז חול שבו יכולה להתקיים אי-ליניאריות מוגבלת, ניתנת לבדיקה אך מושבתת בבטחה במסגרת כללי התרמודינמיקה הקוונטית.

כל התקן קוונטי פעיל מוגבל בסופו של דבר על ידי עקביות תרמודינמית. אפילו כאשר הטרנזיסטור המצומד קוונטי (QCT) פועל במשטר התנגדות דיפרנציאלית לא ליניארית או שלילית (NDR), ההגבר הכולל שלו אינו יכול לעלות על הגבול שנקבע על ידי טמפרטורת הרעש האפקטיבית שלו ותקציב האות הזמין. תרמו בונד מבטא מגבלה זו: הגברה והעברת קוהרנטיות בתווך המופעל חייבות לציית לעקרון התנודה-פיזור, ולהבטיח שאף תצורה של ההתקן לא תוכל לחלץ אנרגיה חופשית נטו או להפר את החוק השני.

בשיווי משקל, צפיפות ההספק הספקטרלית של התנודות על פני פער המנהור היא S_V(f) = 4k_B T_{\text{eff}} R_{\text{eq}}(f), איפה T_{\text{eff}} היא הטמפרטורה האפקטיבית של הצומת המצומדת ו R_{\text{eq}}(f) היא ההתנגדות הדינמית, שיכולה להפוך שלילית תחת הטיה של NDR. כאשר ה-QCT מספק הגבר אות קטן ג(ו), משפט התנודה-פיזור דורש שהמכפלה של ההגבר וטמפרטורת הרעש תישאר מוגבלת: G(f) T_{\text{eff}} \ge T_0, איפה T_0 היא הטמפרטורה הפיזית של הסביבה. זה מבטיח שכל הגברה מקומית בהכרח תכניס רעש מפצה, תוך שמירה על מאזן האנטרופיה לא שלילי.

האנלוג הקוונטי של אילוץ זה נובע מיחסי הקומוטציה של אופרטורי השדה. עבור כל מגבר הפועל על מצבים בוזוניים \hat a_{\mathrm{in}} ו \hat a_{\mathrm{out}}, יש לשמר את הקומוטציה הקנונית, כלומר
[,\hat a_{\mathrm{out}},,\hat a_{\mathrm{out}}^{\dagger},]=1.

מודל קלט-פלט סטנדרטי שאינו רגיש לפאזה הוא
\hat a_{\mathrm{out}}=\sqrt{G},\hat a_{\mathrm{in}}+\sqrt{G-1},\hat b_{\mathrm{in}}^{\dagger},\qquad [,\hat b_{\mathrm{in}},\hat b_{\mathrm{in}}},\hat b_{\mathrm{in}},\mathrm{in}},\mathrm{in}},\mathrm{in}},\mathrm{in}},\mathrm{in}},\mathrm{in}},\mathrm{in}},\mathrm{in}},\mathrb
מה שמרמז על תוספת רעש מינימלית.

ב-QCT, רעש זה מתאים לרכיב הסטוכסטי של זרם המנהור המושרה על ידי תנודות תרמיות וקוונטיות של השדה החולף. ניתן לכתוב את פשרת הרעש-הגבר האפקטיבית כך: ‏G_{QCT}} = 1 + \frac{P_{out}} - P_{in}}}{k_B T_{eff}} B}, בְּכַּפוּף לְ- P_{\text{out}} \le P_{\text{in}} + k_B T_{\text{eff}} B, איפה B הוא רוחב הפס. אי שוויון זה מבטא את התקרה התרמודינמית על הגברה קוהרנטית.

בפועל, ככל שההטיה על פני מחסום h-BN גדלה, אזור ה-NDR מאפשר הזרקת אנרגיה מחדש למצב חולף, ובכך מגביר ביעילות את השדה הקרוב. עם זאת, רווח זה מגביל את עצמו: ברגע שטמפרטורת הרעש המקומית עולה ל- ‏T_{eff} = T_0 + ΔT_{NDR}, המערכת מגיעה למצב יציב תרמי. עלייה נוספת בהטיה מפזרת אנרגיה נוספת כחום במקום להגביר את הקוהרנטיות. לפיכך, רצפת הרעש התרמי פועלת כבלם טבעי, המייצב את המערכת מפני הגברה בורחת.

ניתן לסכם את גבול התרמו כחוק שימור המקשר בין רכישת מידע, קלט אנרגטי וייצור אנטרופיה: ΔI = (ΔE}{k_B T_{eff} \ln 2}). אי שוויון זה מגדיר את היעילות האולטימטיבית של כל ערוץ תקשורת מבוסס QCT או ניסוי איתות סיבתי-פוליאטיבי: קצב המידע שניתן להשיג ליחידת הוצאת אנרגיה אינו יכול לעלות על עלות האנטרופיה של שמירה על קוהרנטיות.

מנקודת מבט רחבה יותר, ה-Thermo Bound הוא המקבילה התרמית לאילוץ תקציב האות. בעוד Q_{\text{חתימה}} מגביל את השטף הקוהרנטי הכולל, T_{\text{eff}} מגביל את ההגברה השמישה בתוך שטף זה. יחד, הם מגדירים את חלון הפעולה של ה-QCT כמערכת קוונטית-רזוננטית אך סגורה תרמודינמית. לא נוצרת או אובדת אנרגיה מעבר לחילוף המותר עם הסביבה, ושינוי האנטרופיה הכולל נשאר לא שלילי: ‏\frac{dS_{tot}}{dt} = \frac{P_{in} - P_{out}}{T_0} ≤ 0.

בעיקרו של דבר, ה-Thermo Bound מבטיח שה-QCT יתפקד כ- מגבר קוונטי תואם תרמודינמי - מסוגל להגבר פאזה-קוהרנטי וצימוד סופר-לומינלי בתוך האזור המאופשר שלו, אך תמיד מוגבל על ידי מאזן אנרגיה-אנטרופיה הבסיסי ששומר על סיבתיות גלובלית וחוק פיזיקלי.

באזורים מופעלים כמו מחסום המנהור QCT, אנו מניחים נוכחות של אי-לינאריות חלשה ותלוית-מצב במפת המדידה או ההגברה. מפה זו, המסומנת על ידי N_{\chi}, פועל על מטריצת הצפיפות המקומית \rho של תת-המערכת המחוברת לשדה האות \צ'יהיא שומרת על הסתברות כוללת (שימור עקבות) אך מציגה אי-לינאריות מבוקרת המספיקה כדי להניב קיבולת קלאסית סופית, אם כי זעירה.

1. הגדרה
N_{\chi}(\rho) = \frac{A_{\chi} \rho A_{\chi}^{\dagger}}{\mathrm{Tr}(A_{\chi} \rho A_{\chi}^{\dagger})},
איפה A_{\chi} = I + λ, F(τ, λ) הוא אופרטור לא ליניארי התלוי באופן חלש בשדה האות \צ'י ועל מצב המערכת הנוכחי \rhoהפרמטר הקטן אפסילון 1 שולט במידת אי-הלינאריות.

הנורמליזציה במכנה כופה \mathrm{Tr}[N_{\chi}(\rho)] = 1, תוך הבטחה שהמפה משמרת עקבות ועקבית פיזית.

2. גבול ליניארי

מתי \epsilon = 0, המודל מצטמצם למדידה קוונטית סטנדרטית:
‏N_{\chi}(τ) \to \rho' = \frac{M \rho M^{\dagger}}{\mathrm{Tr}(M \rho M^{\dagger})},
איפה M הוא אופרטור המדידה (אלמנט POVM).
לכן, המודל הלא ליניארי הוא הרחבה מינימלית של מכניקת הקוונטים הסטנדרטית.

3. דינמיקה אפקטיבית

עבור אי-לינאריות חלשה, המפה גורמת למשוואת אבולוציה אפקטיבית:

איפה

מייצג פונקציונל לא ליניארי המצימד את מצב המערכת לשדה האות.

ניתן לעצב מונח זה באופן פנומנולוגי כך:
\mathcal{L}_{\chi}[\rho] = f(\chi),(\rho^2 - \rho,\mathrm{Tr}[\rho^2]),
מציג הגבר או הנחתה תלויי-מצב שנעלמים עבור מצבים טהורים (rho^2 = rho).

4. קיבולת מידע

התוצאה המרכזית היא שגילוי לאחר בחירה או גילוי לא ליניארי יכול להניב קיבולת קלאסית קטנה אך סופית. C_{\mathrm{eff}} על פני מה שאחרת היה ערוץ הסתבכות בלבד (ללא איתות):

C_{\mathrm{eff}} \approx p_{W}, C,
איפה p_{W} היא הסתברות ההצלחה של חלון הבחירה הלא ליניארי, ו- C היא הקיבולת של ערוץ איתות אידיאלי.

זה מתאים לסטייה זעירה אך מדידה מהתנהגות אי-תקשורת קפדנית במדיה מופעלת:

5. דוגמה פיזיקלית: צימוד מחסום QCT

בטרנזיסטור מצומד קוונטי, שתי שכבות הגרפן פועלות כגלאים קוהרנטיים מקומית המחוברים באמצעות מחסום קוונטי.
שדה האות האפקטיבי \פֶּתֶק) מייצג את פוטנציאל הפאזה החולף על פני אזור מנהור h-BN.
אי-הלינאריות נכנסת דרך שקיפות המחסום התלויה במתח:
‏T_{\chi}(V) = T_{0} ∫exp[-α (1 - βV + β, π(rho))],
איפה \Phi_{\chi}(\rho) הוא איבר משוב חלש המקשר את קוהרנטיות פונקציית הגל המקומית למצב השדה.
משוב כזה משנה את הסתברות המנהור באופן לא מקומי אך שומר על יוניטריות גלובלית.

6. שימור ויציבות

כדי למנוע הגברה בורחת, האיבר הלא ליניארי מקיים אילוץ שימור:
\mathrm{Tr}[\rho,\mathcal{L}_{\chi}[\rho]] = 0,
תוך הבטחה שההסתברות הכוללת והאנרגיה יישארו קבועות מסדר ראשון ב \אפסילון.
זה שומר על הדינמיקה עקבית ומוגבלת - תוך הימנעות מפרדוקסים סופר-לומינליים תוך מתן אפשרות להעברת אות קוהרנטית תת-ניתנת לצפייה.

7. פרשנות

התוצאה היא א כלל קוונטי שעבר שינוי מינימלי:
תגובת הגלאי היא מעט לא לינארית ותלוית מצב, מה שיוצר סטייה קטנה ממשפט אי-התקשורת המחמיר תוך שמירה על נורמליזציה גלובלית של כלל Born.
באזורים מופעלים (למשל, שדות מחסום h-BN, מעגלי צירוף מקרים שנבחרו לאחר הבחירה), האינטראקציה מתנהגת כאילו מידע פאזה יכול לחדור דרך הריק הקוונטי - תוך שהוא נושא אות קלאסי זעיר וסופי על פני הפרדה דמוית חלל, מבלי לשבור את האוניטריות או את הסיבתיות הגלובלית.